NOTAS SOBRE EL CONCEPTO DE NUMERO
El concepto de numero natural que satisface la exigencias de la Aritmetica elemental no responde a la generalizacion y abstraccion caracteristicas de la operatoria algebraica.
En Algebra se desarrolla un cálculo de validez general aplicable acual quier tipo especial de numero. Conviene pues, considerar como se ha ampliado el campo de los numeros por la introduccion de nuevos entes que satisfacen las leyes que regulan las operaciones fundamentales, ya que, como veremos mas adelante(1) no nos sirve para efectuar la resta y la divicion en todos los casos.
Para hacer más comprensible la ampliacion del campo de los numeros, adoptaremos un doble criterio. Por un lado, un criterio historico que nos haga conocer la gradual aparicion de las distintas clases de numeros; por otro, un criterio intuitivo que nos ponga de manifiesto como ciertas necesidades materiales.
Para hacer más comprensible la ampliacion del campo de los numeros, adoptaremos un doble criterio. Por un lado, un criterio historico que nos haga conocer la gradual aparicion de las distintas clases de numeros; por otro, un criterio intuitivo que nos ponga de manifiesto como ciertas necesidades materiales.
EL NUMERO ENTERO Y EL NUMERO FRACCIONARIO
Mucho antes de que los griegosrealizaran la sistematizacion de los conocimientos matematicos, losbabilonios y los egipcios conocian las fracciones.
La necesidad de medir magnitudes continuas tales como langitud, el volumen, el peso, etc., llevó al hombre a introducir los numeros fraccionarios.
Cuando tomamos una unidad cualquiera, por ejemplo la vara, para medir una magnitud continua, puede ocurrir una de estas cosas: que la unidad este contenida un número entero de veces, o que no este contenidad en un número entero de veces. (2) En el primer caso, representamos el resultado de la medicion con un numero entero. En el segundo caso, tendremos que fraccionar la unidad elegida en dos, en tres o en cuatro partes iguales; de este modo, hallaremos una fraccion de la unidad que este contenida en la magnitud que tratemos de medir. El resultado de esta ultima lo expresamos con un par de numeros enteros, distintos de cero, llamados respectivamente numerador y denominador. El denominador nos dara el numero de partes en que hemos dividido la unidad, y el nominador, el numero de subindices contenidas en la magnitud que acabamos de medir. Surgen de este modo los numeros fraccionarios. Son numeros fraccionarios 1/2, 1/3, 3/5,
La necesidad de medir magnitudes continuas tales como langitud, el volumen, el peso, etc., llevó al hombre a introducir los numeros fraccionarios.
Cuando tomamos una unidad cualquiera, por ejemplo la vara, para medir una magnitud continua, puede ocurrir una de estas cosas: que la unidad este contenida un número entero de veces, o que no este contenidad en un número entero de veces. (2) En el primer caso, representamos el resultado de la medicion con un numero entero. En el segundo caso, tendremos que fraccionar la unidad elegida en dos, en tres o en cuatro partes iguales; de este modo, hallaremos una fraccion de la unidad que este contenida en la magnitud que tratemos de medir. El resultado de esta ultima lo expresamos con un par de numeros enteros, distintos de cero, llamados respectivamente numerador y denominador. El denominador nos dara el numero de partes en que hemos dividido la unidad, y el nominador, el numero de subindices contenidas en la magnitud que acabamos de medir. Surgen de este modo los numeros fraccionarios. Son numeros fraccionarios 1/2, 1/3, 3/5,
(1) P.L.G. Dirichlet (alemán, 1805-1859), ha sostenido que no es necesariamente indispensable ampliar el concepto de numero natural, ya que
-según el- cualquier principio de la más alta matemática puede demostrarse por medio de los números naturales.
(2) En la práctica y hablando con rigor, ninguna medida resulta exacta, en razón de lo imperfecto de nuestros instrumentos de medida y de nuestros sentidos.
Podemos decir que son numeros fraccionarios los que nos permiten expresar el cociente de una division inexacta, o lo que es lo mismo, una divicion en la cual el dividendo no es multiplo del divisor.
Como se ve, en oposición a los números fraccionarios tenemos los números enteros, que podemos defenir como aquellos que expresan el cociente de una división exacta, como por ejemplo, 1, 2, 3, etc.
6 entre 2 = 3
EL NUMERO RACIONAL Y EL NUMERO IRRACIONAL
Siguiendo el orden historico que nos hemos trazado, vamos a ver ahora cuando y como surgieron los numeros irracionales.
Es indudable que fueron los griegos quienes conocieronprimero los numeros irracionales. Los historiadores de las matematicas, estan de acuerdo en atribuir a Pitagoras de samos, el descubrimiento de estos numeros , al establecer el lado de un cuadrado y la diagonal del mismo.Más trade, Teodoro de Cierene, mátematico de la escuela de pitagórica, demotró geometricamente que
son irracionales. Euclides, estudió en el libro X de sus "Elementos", ciertas magnitudes que al ser medidas no encontramos ningún número entero que se origina al medir tales magnitudes se llaman irracionales
Siguiendo el orden historico que nos hemos trazado, vamos a ver ahora cuando y como surgieron los numeros irracionales.
Es indudable que fueron los griegos quienes conocieronprimero los numeros irracionales. Los historiadores de las matematicas, estan de acuerdo en atribuir a Pitagoras de samos, el descubrimiento de estos numeros , al establecer el lado de un cuadrado y la diagonal del mismo.Más trade, Teodoro de Cierene, mátematico de la escuela de pitagórica, demotró geometricamente que
son irracionales. Euclides, estudió en el libro X de sus "Elementos", ciertas magnitudes que al ser medidas no encontramos ningún número entero que se origina al medir tales magnitudes se llaman irracionalesEjemplos dde tales magnitudes son relación del lado de un cuadrado con la diagonal del mismo, que se expresa con el numero irracional
; y la relación de la circunferencia, al diámetro que se expresa con la letra 
; y la relación de la circunferencia, al diámetro que se expresa con la letra 
LOS NUMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS
Durante la edad media y el renacimiento los matematicos rehuyeron de usar lus numeros negativos, fue newton el primero en comprender la verdadera naturaleza de estos numeros. Posteriormente Harriot introdujo los signos + y - para caracterizar los numeros negativos y positivos.
La significacion de los numeros realtivos o con signos se comprende claramente, cuando los utilizamos para representar el resultado de medir magnitudes relativas, es decir magnitudes cuyas cantidades pueden tomarse en sentidos opuestos, tal como sucede cuando tratamos de medir la longitud geografica de una ragián de terminada; o de expresar el grado de temperatura de un lugar dado. En el primer caso, podemos hablar de una longitud este u oeste con respecto a un meridiano fijado arbitrariamente En el segundo caso, podemos referirnos a grado sobre cero o grado bajo cero. Convencionalmente fijamos los numeros positivos o con signo = en una direccion, y los numeros negativos o con un signo - en la direccion opuesta.
Si sobre una semirecta fijamos un punto cero, a partir del cual, hacia la derecha, señalamos puntos quer representan una determinada unidad, nos resulta los puntosA, B, C, etc. Si sobre esta misma semirecta, a partir del punto cero (llamado Origen), procedemos del mismo del mismo modo hacia la izquierda, tendremos los punto a, b, c, etc. Si convenimos en que los puntos de la semirecta indicados a la derecha del punto cero representa numeros positivos (A,B,C,etc.) los puntos señalados a la izquierda (a, b, c, etc.), representan numeros negativos.
La significacion de los numeros realtivos o con signos se comprende claramente, cuando los utilizamos para representar el resultado de medir magnitudes relativas, es decir magnitudes cuyas cantidades pueden tomarse en sentidos opuestos, tal como sucede cuando tratamos de medir la longitud geografica de una ragián de terminada; o de expresar el grado de temperatura de un lugar dado. En el primer caso, podemos hablar de una longitud este u oeste con respecto a un meridiano fijado arbitrariamente En el segundo caso, podemos referirnos a grado sobre cero o grado bajo cero. Convencionalmente fijamos los numeros positivos o con signo = en una direccion, y los numeros negativos o con un signo - en la direccion opuesta.
Si sobre una semirecta fijamos un punto cero, a partir del cual, hacia la derecha, señalamos puntos quer representan una determinada unidad, nos resulta los puntosA, B, C, etc. Si sobre esta misma semirecta, a partir del punto cero (llamado Origen), procedemos del mismo del mismo modo hacia la izquierda, tendremos los punto a, b, c, etc. Si convenimos en que los puntos de la semirecta indicados a la derecha del punto cero representa numeros positivos (A,B,C,etc.) los puntos señalados a la izquierda (a, b, c, etc.), representan numeros negativos.
Historicamente, los numeros negativos surgenpara hacer posible la resta de todos los casos. De este modo, la resta se convierte en una operacion inversa de la suma, y se le hace posible restarle a un minuendo menos un sustraendo mayor.
Los numeros y los simbolos literales negativos se distinguen por el signo - que llevan antepuesto. Los numeros positivos y sus representacion literal llevan el signo =, siempre que no inicie uyna expresion algebraica.
El numero cero. Cuando tratamos de aprehender el concepto de numero natural, vemos como este surge de la comparacion de conjuntos que carese de elementos.
Por otra parte, el cero representa un elemento de separacion entre los numeros negativos y positivos, de modo que el cero es mayor que cualquier numero negativo y menor que cualquier otro numero positivo.
El siguiente diagrama nos aclará las distintas clases de números con los cuales vámos a trabajar.
Los numeros y los simbolos literales negativos se distinguen por el signo - que llevan antepuesto. Los numeros positivos y sus representacion literal llevan el signo =, siempre que no inicie uyna expresion algebraica.
El numero cero. Cuando tratamos de aprehender el concepto de numero natural, vemos como este surge de la comparacion de conjuntos que carese de elementos.
Por otra parte, el cero representa un elemento de separacion entre los numeros negativos y positivos, de modo que el cero es mayor que cualquier numero negativo y menor que cualquier otro numero positivo.
El siguiente diagrama nos aclará las distintas clases de números con los cuales vámos a trabajar.
RESUMEN
BIBLIOGRAFIA: lIBRO DEL BALDOR PAG. 28-31 ALGEBRA
No hay comentarios:
Publicar un comentario